Жизнь

Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений. Кьяртан Поскитт - Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений Как это работает

Кьяртан Поскитт

Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений

Kjartan Poskitt

EVERYDAY MATHS FOR GROWN-UPS:

GETTING TO GRIPS WITH THE BASICS


Научный редактор Александр Минько


Издано с разрешения Michael O’Mara Books Limited


Правовую поддержку издательства обеспечивает юридическая фирма «Вегас-Лекс».


© Kjartan Poskitt, 2010

Перевод на русский язык, издание на русском языке, оформление. ООО «Манн, Иванов и Фербер», 2016

* * *

Эту книгу хорошо дополняют:

Магия чисел

Артур Бенджамин, Майкл Шермер


Удовольствие от x

Стивен Строгац


Красота в квадрате

Алекс Беллос


Теория игр

Авинаш Диксит, Барри Нейлбафф

Посвящается Мэрилин Мэлин, которая более двадцати лет помогает мне самоорганизовываться и никогда не ошибается в счете, хотя и не пользуется калькулятором


Почему я написал эту книгу

Не так давно ко мне подошел Блэйки, мой приятель, и, похоже, он был в отчаянии. Как оказалось, несмотря на то что ему уже почти сорок и он весьма умен, ему никак не удается поступить на курс менеджмента – и все из‑за экзамена по арифметике, который он постоянно проваливает. Блэйки признался: «Складывать и вычитать я умею, но совершенно теряюсь, когда дело доходит до умножения: не могу понять, верно ли я сосчитал, даже проверив результат на калькуляторе». Я дал ему почитать мою книгу The Awesome Arithmeticks («Потрясающая арифметика»), написанную для детей-восьмилеток, и через пару недель Блэйки сдал экзамен.

Если вы тоже из числа тех, кому, как и Блэйки, не дается математика, скорее всего, вы упустили что-то важное в самом начале ее изучения, поэтому и в остальном разобраться не получается. Вот почему я сперва остановлюсь на сложении чисел, а затем буду постепенно переходить к вещам посложнее, чтобы вы могли усвоить материал с азов и понять, что и как взаимосвязано. Если первые главы покажутся вам слишком простыми, можете их пропустить; в случае необходимости вы всегда сможете к ним вернуться, если понадобится что-то уточнить.

Не волнуйтесь, это не учебник! Конечно, здесь много чисел, диаграмм и даже некоторых особенных штучек вроде π, x ² и т. п., но зато нет никаких тестов и экзаменов и никто не станет вас ругать, если во время чтения вы уснете. Главная цель этой книги – дать вам дружеские рекомендации по использованию математики в повседневной жизни. Например, как рассчитать, сколько краски понадобится для ремонта комнаты или сколько времени уйдет на поездку. Я также дам советы по более сложным темам, таким как алгебра и работа с процентами, чтобы вы не чувствовали себя неловко, если дети будут обсуждать при вас домашнее задание по математике. Попутно мы рассмотрим ряд забавных вещей наподобие искривленного пространства и комбинаций в покере и даже несколько фокусов, чтобы вы могли козырнуть ими перед друзьями!

Вот вам один трюк для начала (при желании воспользуйтесь калькулятором).

Загадайте любое трехзначное число; все его цифры должны быть разными.

Запишите его задом наперед.

Вычтите одно из другого.

Второй цифрой результата всегда будет 9, а первая и третья цифры дадут 9 в сумме (в случае, если получится 99, добавьте спереди ноль, чтобы вышло три знака).

Если у вас есть впечатлительный друг по имени Малькольм, можете сразить его этим фокусом наповал. Попросите Малькольма, ничего ему не объясняя, задумать трехзначное число, чтобы все три знака были разными, затем записать его задом наперед и вычесть одно из другого. Поинтересуйтесь, с какой цифры начинается результат, и вы сможете назвать ему остальные цифры, не зная, какое число он изначально загадал!

Если Малькольм скажет, что первая цифра 9, значит, у него получилось 99, если первая цифра 5, то ответ равен 594. Запомните: в середине всегда будет девятка, а цифры по краям в сумме должны давать 9!

Сложение

Сложение – в числе первых навыков, которым учат в школе, однако не принимайте это как должное! Сложение кажется простым благодаря использованию гениальной индо-арабской системы счисления, которая может оперировать числами любой величины, хотя в ней фигурируют всего десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Давайте вспомним, как она устроена.

Система разрядов

Предположим, вы провели три незабываемых дня, торгуя на ярмарке. Ваша выручка соответственно составила 173, 585 и 234 фунта. Но вот досада: вы по ошибке продали свой калькулятор. Так сколько же всего денег вы заработали?

Цифры в числах расположены по системе разрядов , так что в числе 173: 3 означает три единицы, 7 – семь десятков, а 1 – одну сотню. Для того чтобы подсчитать сумму 173 + 585 + 234, вам нужно просто записать числа так, чтобы сотни, десятки и единицы находились в столбцах друг под другом.

Индо-арабская система против римской

Мы пользуемся индо-арабской системой счисления, которая появилась в Индии около 2400 лет назад. Примерно 1100 лет назад на нее перешли арабские математики и астрономы, а около 800 лет назад Леонардо Фибоначчи из Пизы способствовал ее распространению в Европе (приблизительно в то же время была построена знаменитая Пизанская падающая башня).

Трудно оценить всю элегантность этой числовой системы, пока вы не рассчитаете ту же сумму, записанную римскими цифрами. Цифры у римлян обозначались буквами следующим образом:



Обычно числа представляли собой последовательности этих букв, от наибольших значений до наименьших. Например, CLXXIII = 100 + 50 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 173. Однако записывать подобным способом такие числа, как 9 (получилось бы VIIII), было неудобно, и тогда меньшие значения ставили перед бо́льшими, при этом их следовало не прибавлять, а вычитать, и 9 записывалось как IX.

Римские цифры до сих пор используются людьми в случае, когда нужно придать чему-то стильный или элегантный вид. На циферблатах старого образца часы обозначаются римскими цифрами от I до XII, а во многих фильмах и телепрограммах после титров римскими цифрами пишут год выпуска, например MMX, то есть 2010‑й. В фундаменте известных строений или статуй часто заложен камень с выбитой римскими цифрами датой. Статуя Свободы в Нью-Йорке держит в руке табличку, где вырезана дата принятия Декларации независимости – JULY IV MDCCLXXVI (4 июля 1776 года).

Ноль? Ноль!

У древних римлян не было обозначения для 0. Лишь после введения системы разрядов 0 стал важен для написания таких чисел, как 10 и 100.

Единственное место, где нынче не встретишь римские цифры, – это математика. Представьте, как бы вы рассчитывали выручку на ярмарке во времена древних римлян…

Индо-арабская система счисления сделает самую тяжелую работу за вас, достаточно лишь записать числа так, чтобы единицы, десятки и сотни выстроились в столбцы. Более того, вычисление сумм таким образом поможет вам развить чутье на правильный ответ – способность, которая никогда не появится, если полагаться на калькулятор!

Иногда суммы уже рассчитаны за вас, и это повод проверить свое чутье на практике.

Как быстро проверить кассовый чек

Случалось ли вам, выходя из магазина с длиннющим чеком в руке, испытывать стойкое ощущение, что вас обсчитали? Но когда вы обвешаны переполненными сумками, меньше всего хочется останавливаться и тратить время на подсчеты. К счастью, есть способ очень быстро узнать приблизительную сумму чека.

Вот чек, от которого оторван кусочек с общей суммой. Нам нужно сделать всего две вещи.

1. Сложим фунты, не обращая внимания на пенсы, – получится 58.

2. Согнем чек так, чтобы разделить перечень покупок пополам, и прибавим 1 к сумме каждой покупки, отображенной на выбранной нами стороне чека.

У нас получилось 10 покупок, так что прибавляем 10 к 58 – выйдет 68 фунтов. Это число должно приблизительно соответствовать точной сумме. Давайте-ка проверим… Ну, совсем неплохо!

Советы

Если в магазине проходит акция «два по цене одного» или есть еще какие-нибудь скидки, в чеке могут встретиться отрицательные числа. Лучше игнорировать их при первоначальном сложении и вычесть в самом конце. Кроме того, если на кассе ваши покупки раскладывают по пакетам, в некоторых магазинах в чеке пишут «сумму за пакет» – эти числа учитывать не нужно.

Текущая страница: 1 (всего у книги 8 страниц) [доступный отрывок для чтения: 2 страниц]

Шрифт:

100% +

Кьяртан Поскитт
Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений

Kjartan Poskitt

EVERYDAY MATHS FOR GROWN-UPS:

GETTING TO GRIPS WITH THE BASICS


Научный редактор Александр Минько


Издано с разрешения Michael O’Mara Books Limited


Правовую поддержку издательства обеспечивает юридическая фирма «Вегас-Лекс».


© Kjartan Poskitt, 2010

Перевод на русский язык, издание на русском языке, оформление. ООО «Манн, Иванов и Фербер», 2016

* * *

Эту книгу хорошо дополняют:

Магия чисел

Артур Бенджамин, Майкл Шермер


Удовольствие от x

Стивен Строгац


Красота в квадрате

Алекс Беллос


Теория игр

Авинаш Диксит, Барри Нейлбафф

Посвящается Мэрилин Мэлин, которая более двадцати лет помогает мне самоорганизовываться и никогда не ошибается в счете, хотя и не пользуется калькулятором

Почему я написал эту книгу

Не так давно ко мне подошел Блэйки, мой приятель, и, похоже, он был в отчаянии. Как оказалось, несмотря на то что ему уже почти сорок и он весьма умен, ему никак не удается поступить на курс менеджмента – и все из‑за экзамена по арифметике, который он постоянно проваливает. Блэйки признался: «Складывать и вычитать я умею, но совершенно теряюсь, когда дело доходит до умножения: не могу понять, верно ли я сосчитал, даже проверив результат на калькуляторе». Я дал ему почитать мою книгу The Awesome Arithmeticks («Потрясающая арифметика»), написанную для детей-восьмилеток, и через пару недель Блэйки сдал экзамен.

Если вы тоже из числа тех, кому, как и Блэйки, не дается математика, скорее всего, вы упустили что-то важное в самом начале ее изучения, поэтому и в остальном разобраться не получается. Вот почему я сперва остановлюсь на сложении чисел, а затем буду постепенно переходить к вещам посложнее, чтобы вы могли усвоить материал с азов и понять, что и как взаимосвязано. Если первые главы покажутся вам слишком простыми, можете их пропустить; в случае необходимости вы всегда сможете к ним вернуться, если понадобится что-то уточнить.

Не волнуйтесь, это не учебник! Конечно, здесь много чисел, диаграмм и даже некоторых особенных штучек вроде π, x ² и т. п., но зато нет никаких тестов и экзаменов и никто не станет вас ругать, если во время чтения вы уснете. Главная цель этой книги – дать вам дружеские рекомендации по использованию математики в повседневной жизни. Например, как рассчитать, сколько краски понадобится для ремонта комнаты или сколько времени уйдет на поездку. Я также дам советы по более сложным темам, таким как алгебра и работа с процентами, чтобы вы не чувствовали себя неловко, если дети будут обсуждать при вас домашнее задание по математике. Попутно мы рассмотрим ряд забавных вещей наподобие искривленного пространства и комбинаций в покере и даже несколько фокусов, чтобы вы могли козырнуть ими перед друзьями!

Вот вам один трюк для начала (при желании воспользуйтесь калькулятором).

Загадайте любое трехзначное число; все его цифры должны быть разными.

Запишите его задом наперед.

Вычтите одно из другого.



Второй цифрой результата всегда будет 9, а первая и третья цифры дадут 9 в сумме (в случае, если получится 99, добавьте спереди ноль, чтобы вышло три знака).

Если у вас есть впечатлительный друг по имени Малькольм, можете сразить его этим фокусом наповал. Попросите Малькольма, ничего ему не объясняя, задумать трехзначное число, чтобы все три знака были разными, затем записать его задом наперед и вычесть одно из другого. Поинтересуйтесь, с какой цифры начинается результат, и вы сможете назвать ему остальные цифры, не зная, какое число он изначально загадал!

Если Малькольм скажет, что первая цифра 9, значит, у него получилось 99, если первая цифра 5, то ответ равен 594. Запомните: в середине всегда будет девятка, а цифры по краям в сумме должны давать 9!

Сложение

Сложение – в числе первых навыков, которым учат в школе, однако не принимайте это как должное! Сложение кажется простым благодаря использованию гениальной индо-арабской системы счисления, которая может оперировать числами любой величины, хотя в ней фигурируют всего десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Давайте вспомним, как она устроена.

Система разрядов

Предположим, вы провели три незабываемых дня, торгуя на ярмарке. Ваша выручка соответственно составила 173, 585 и 234 фунта. Но вот досада: вы по ошибке продали свой калькулятор. Так сколько же всего денег вы заработали?

Цифры в числах расположены по системе разрядов , так что в числе 173: 3 означает три единицы, 7 – семь десятков, а 1 – одну сотню. Для того чтобы подсчитать сумму 173 + 585 + 234, вам нужно просто записать числа так, чтобы сотни, десятки и единицы находились в столбцах друг под другом.



Индо-арабская система против римской

Мы пользуемся индо-арабской системой счисления, которая появилась в Индии около 2400 лет назад. Примерно 1100 лет назад на нее перешли арабские математики и астрономы, а около 800 лет назад Леонардо Фибоначчи из Пизы способствовал ее распространению в Европе (приблизительно в то же время была построена знаменитая Пизанская падающая башня).

Трудно оценить всю элегантность этой числовой системы, пока вы не рассчитаете ту же сумму, записанную римскими цифрами. Цифры у римлян обозначались буквами следующим образом:



Обычно числа представляли собой последовательности этих букв, от наибольших значений до наименьших. Например, CLXXIII = 100 + 50 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 173. Однако записывать подобным способом такие числа, как 9 (получилось бы VIIII), было неудобно, и тогда меньшие значения ставили перед бо́льшими, при этом их следовало не прибавлять, а вычитать, и 9 записывалось как IX.

Римские цифры до сих пор используются людьми в случае, когда нужно придать чему-то стильный или элегантный вид. На циферблатах старого образца часы обозначаются римскими цифрами от I до XII, а во многих фильмах и телепрограммах после титров римскими цифрами пишут год выпуска, например MMX, то есть 2010‑й. В фундаменте известных строений или статуй часто заложен камень с выбитой римскими цифрами датой. Статуя Свободы в Нью-Йорке держит в руке табличку, где вырезана дата принятия Декларации независимости – JULY IV MDCCLXXVI (4 июля 1776 года).

Ноль? Ноль!

У древних римлян не было обозначения для 0. Лишь после введения системы разрядов 0 стал важен для написания таких чисел, как 10 и 100.

Единственное место, где нынче не встретишь римские цифры, – это математика. Представьте, как бы вы рассчитывали выручку на ярмарке во времена древних римлян…



Индо-арабская система счисления сделает самую тяжелую работу за вас, достаточно лишь записать числа так, чтобы единицы, десятки и сотни выстроились в столбцы. Более того, вычисление сумм таким образом поможет вам развить чутье на правильный ответ – способность, которая никогда не появится, если полагаться на калькулятор!

Иногда суммы уже рассчитаны за вас, и это повод проверить свое чутье на практике.

Как быстро проверить кассовый чек

Случалось ли вам, выходя из магазина с длиннющим чеком в руке, испытывать стойкое ощущение, что вас обсчитали? Но когда вы обвешаны переполненными сумками, меньше всего хочется останавливаться и тратить время на подсчеты. К счастью, есть способ очень быстро узнать приблизительную сумму чека.

Вот чек, от которого оторван кусочек с общей суммой. Нам нужно сделать всего две вещи.



1. Сложим фунты, не обращая внимания на пенсы, – получится 58.

2. Согнем чек так, чтобы разделить перечень покупок пополам, и прибавим 1 к сумме каждой покупки, отображенной на выбранной нами стороне чека.



У нас получилось 10 покупок, так что прибавляем 10 к 58 – выйдет 68 фунтов. Это число должно приблизительно соответствовать точной сумме. Давайте-ка проверим… Ну, совсем неплохо!

Если в магазине проходит акция «два по цене одного» или есть еще какие-нибудь скидки, в чеке могут встретиться отрицательные числа. Лучше игнорировать их при первоначальном сложении и вычесть в самом конце. Кроме того, если на кассе ваши покупки раскладывают по пакетам, в некоторых магазинах в чеке пишут «сумму за пакет» – эти числа учитывать не нужно.

Как это работает

Числа в колонке пенсов могут колебаться от 0 до 99. У одних цен число пенсов невелико (например, 25), тогда как у других бывает довольно большим (например, 80). В среднем выходит около 50 пенсов на покупку, поэтому, чтобы получить приблизительную сумму пенсов, можно сосчитать количество покупок и прибавить 50 пенсов на каждую. Однако гораздо проще уменьшить число покупок вдвое (для этого мы и согнули чек пополам) и добавить на каждую покупку по 1 фунту (50 + 50 пенсов).

Еще больше советов покупателю! Раздел «Деньги и проценты» полностью посвящен процентам, экономии средств и скидкам.

Вычитание

Несмотря на то что складывать можно по несколько чисел одновременно, никогда не пытайтесь вычитать более чем по одному числу за раз. Давайте сначала рассмотрим традиционный способ вычитания, а затем познакомимся с отличным новым способом, который сегодня преподают в школах.

Старый способ

Ключ к вычитанию – помнить о том, что число, скажем 73, это то же самое, что и 70 + 3.

Вычислить, сколько будет 73 − 2, несложно. Достаточно вычесть единицы, чтобы получить 3–2 = 1. Вторую часть (70) трогать при этом не надо, она войдет в ответ без изменений (удобно использовать бумагу в клеточку, чтобы видеть, где единицы, десятки и т. д.).



Все становится интереснее, если надо от 73 отнять 9. Это то же самое, что и 70 + 3–9, однако с 3–9 так просто уже не разделаться.



Нам нужно сделать вот что: представим 73 как 60 + 13. Для этого придется поменять 7 на 6 и приписать перед 3 маленькую единичку. Поэтому я и пользуюсь бумагой в клеточку – тогда видно, что число сверху это 60 + 13, а не 613.




Теперь, уяснив основной принцип, перейдем к насущным задачам. Предположим, что вы решили построить модель линкора из 6305 спичек, но на данный момент у вас всего 1847 спичек – сколько еще спичек понадобится?



Вот пример, который нужно решить, и хитрость состоит в том, что начать следует с единиц и двигаться к старшим разрядам. Сначала придется разобраться с 5–7. Нам понадобится еще десяток, но у числа 6305 в столбце десятков стоит нуль, так что нам будет нужна еще и тройка в столбце сотен. Тогда мы получим требуемый десяток, вычислив 30 − 1 = 29.



Разделавшись с единицами, закроем их бумажкой и сосредоточимся на остальной части выражения, а именно на вычитании 629–184. Поскольку 9–4 = 5, сразу запишем 5 в результат. Получается, что со столбцом десятков мы разобрались без проблем.



Учитывая, что от 2 восемь так просто не отнять, займем 1 из 6 (в столбце тысяч останется 5) и запишем 1 перед 2. Это даст нам 12 − 8 = 4. И наконец, в столбце тысяч будет 5–1 = 4.



Итак, вот что у нас получилось:



Теперь мы знаем, что, для того чтобы построить линкор, нам понадобится еще 4458 спичек. (И придется где-то их раздобыть или же найти себе другое хобби.)

Новый способ

В наши дни детей учат вычитать, взяв меньшее число и увеличивая его до тех пор, пока оно не сравняется с бо́льшим числом. Джанет, продавщица в кондитерской, именно так и поступает, когда выдает сдачу. Если вы дадите ей 5 фунтов за пирог, который стоит 2,23 фунта, она должна будет дать вам 2,77 фунта сдачи (5–2,23). Чтобы убедиться, что это так, Джанет комментирует свои подсчеты: сперва она говорит, сколько стоит пирог, затем прибавляет номинал каждой монеты (начиная с самых мелких), отсчитывая их, пока сумма не достигнет 5 фунтов.



Этот подход можно использовать и для вычитания чисел. Давайте опять вернемся к спичкам: нам нужно подсчитать, сколько будет 6305–1847. Начнем понемногу прибавлять спички к 1847, по ходу дела отслеживая, что происходит.



Это и есть ответ: 6305–1847 = 4458. На первый взгляд тут задействовано слишком много чисел, но потренировавшись, вы освоитесь с этим методом. Изящно, не правда ли?

Отрицательные числа

Перед отрицательными числами всегда стоит знак «минус», а перед положительными «плюс» обычно не пишут, разве что в таких выражениях: 3 + 6–4 = 5. Здесь числа 3, 6 и 5 – положительные, а 4 – отрицательное.

Всякое число будет либо положительным (+), либо отрицательным (–).

Иногда сумма может давать отрицательный результат, особенно если речь идет о деньгах.

Величина долга всегда вычитается, то есть она отрицательна.



Вычитание большего числа из меньшего поначалу может сбивать с толку. Для простоты понимания представьте себе линейку с нулем посередине. Положительные числа возрастают в одном направлении, отрицательные – в противоположном.



Когда женщина находит 5 фунтов, она продвигается на 5 шагов в положительном направлении.



Но когда мальчик требует 7 фунтов, это отбрасывает ее назад – до нуля и дальше, на отрицательную сторону линейки. Она лишилась своих 5 фунтов и должна еще 2 фунта.



В случае больших чисел уже не столь очевидно, сколько еще вы должны. Предположим, вы играете в «Монополию» и у вас есть 623 фунта. Вы останавливаетесь на Пикадилли, там четыре дома, и с вас причитается арендная плата 1025 фунтов. Вы отдаете все свои деньги, но понятно, что этого не хватает для полной уплаты аренды. Сколько еще осталось заплатить? Надо вычислить 623 фунта – 1025 фунтов.



Для простоты разобьем вычитание на два шага.

1. Если отрицательное число больше положительного, ответ будет отрицательным. Поэтому в конце вычислений убедитесь, что перед результатом стоит знак «минус».

2. Находим разность между двумя числами. Для этого вычитаем меньшее число из большего: 1025 − 623 = 402.


Не забудьте поставить знак «минус»! Ответ равен – 402 фунта, именно столько вы должны. Так что либо раскошеливайтесь, либо просто возьмите всю эту «Монополию», швырните ее в стену и любуйтесь, как разлетаются по комнате бумажки и пластиковые фишки. Вас за это, конечно, не похвалят, но зато вы получите определенное удовольствие.

Умножение

Трижды семь – двадцать один, четырежды семь – двадцать восемь… Чего уж скрывать, зазубривание таблицы умножения – на редкость утомительное занятие, однако эта таблица имеет слишком большую практическую ценность, чтобы просто забыть о ней как о страшном сне. Работать с ней будет гораздо легче, если вы освоите несколько трюков, быстрых приемчиков и прочих секретов взаимосвязи чисел в таблице.

Тайны таблицы умножения

В этой таблице показаны все результаты умножения от 1 × 1 до 10 × 10. Всего здесь 100 результатов. Первым делом давайте избавимся от некоторых из них.



При умножении на 10 в конец числа просто добавляется ноль. Это слишком легко и при переходе к умножению больших чисел нам не понадобится. Так что исключим из таблицы 10‑ю строку и 10‑й столбец.

Если поменять множители местами, ответ останется тем же. Например, и 3 × 7 и 7 × 3 равно 21. Поэтому уберем из таблицы все повторяющиеся результаты.

Итак, мы избавились от более чем половины ячеек. Посмотрим, что осталось.



Числа в серых ячейках называются квадратами целых чисел, или просто квадратами. Это результаты умножения каждого числа на само себя. Например, вдоль каждой стороны шахматной доски 8 клеток, поэтому полное количество клеток на доске будет равняться восьми в квадрате. Записывают это так: 82, что соответствует 8 × 8 = 64.



Если вы ненавидите зубрить таблицу умножения, можете заполнить ее ячейки еще одним способом. Сначала можно просто складывать нечетные числа 1, 3, 5, 7 и т. д. Начинаем с 1 + 3 = 4. Затем прибавляем 5, получаем 9, затем 7, получаем 16… Так вы вычислите квадраты всех чисел.



Если взять любую ячейку с квадратом числа и вычитать из нее нечетные числа, начиная с 1, то получатся значения по диагонали, идущей в другую сторону от исходной ячейки.



Таким образом, начав с 36 и отняв 1, получим 35, отняв 3, получим 32, вычтя 5, получим 27.

(Сравнив эту диаграмму с таблицей умножения, вы убедитесь, что все совпадает.)

Аналогичным способом, но с помощью четных чисел (2, 4, 6, 8…) можно заполнить и остальные ячейки. Посмотрите на диагональ, идущую ниже диагонали квадратов, ту, где стоят числа 2, 6, 12, 20… Эти значения можно получить, начав с 2, затем прибавив 4, затем 6, потом 8 и т. д. А взяв любое из этих чисел (например, 20), можно найти значения вдоль идущей в другую сторону диагонали – вычитая 2, затем 4, потом 6 (например, 20 − 2 = 18, 18 − 4 = 14 и 14 − 6 = 8).

Такие последовательности нечетных и четных чисел позволяют вывести всю таблицу умножения, ни разу при этом не выполнив умножения как такового!

Фокус с тремя числами

Возьмите три любых последовательных числа: при перемножении первого и последнего всегда получится значение на единицу меньше, чем квадрат числа посередине.

Взяв числа 6, 7, 8 и сверившись с таблицей умножения, мы убедимся, что 6 × 8 = 48, а 7 × 7 (или 72) = 49.

Так будет с любыми последовательно идущими числами. Если известно, что 1482 = 21 904, можете быть уверены, что 147 × 149 = 21 903.

(Почему так происходит? Это одна из тех маленьких загадок, которые мы научимся решать когда перейдем к разделу «Алгебра».)

Простые числа

Простое число делится только на само себя и единицу. Например, число 10 не является простым (оно делится на 1, 2, 5 и 10), число 12 тоже (делится на 1, 2, 3, 4, 6, 12), а вот число 11 – простое (делится только само на себя и на 1). Если попробовать упаковать числа в ящики, не оставляя пустых мест, с простыми числами возникнут сложности, поскольку разделить их на равные части не получится.



Наименьшее простое число – это 2. Также это единственное четное простое число, поскольку все остальные четные числа делятся на 2. Следующие простые числа: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… и так далее до бесконечности.



Здесь представлены все числа от 1 до 100, причем числа в белых квадратиках – простые. Легко понять, где простое число наверняка не встретится: со второй строки и ниже простые числа не могут заканчиваться на 2, 4, 6, 8 или 0 (тогда они делились бы на 2) и на 5 (тогда они делились бы на 5). Что никому до сих пор не удалось выяснить, так это где обязательно должно появиться простое число. Был момент всеобщей радости из‑за числа 31, так как поскольку оно простое, простыми также являются 331, 3331, 33 331, 333 331 и т. д. Казалось, любая последовательность троек с единицей в конце даст простое число, и так считали до тех пор, пока кто-то не обнаружил, что 19 607 843 × 17 = 333 333 331. Кстати, если вам удастся найти между простыми числами общую закономерность, ваше имя будут помнить еще долго после того, как имена всех знаменитостей, которыми переполнена сейчас земля, канут в Лету.

Умножение на пальцах

Таблица умножения для числа 9 – одна из самых сложных, но в наши дни почти каждому школьнику знаком изящный способ запоминания.

Поднимите ладони перед собой и представьте, что пальцы пронумерованы от 1 до 10 слева направо. Согните палец, соответствующий числу, которое вы хотите умножить на 9. Посчитайте, сколько пальцев находится слева и справа от согнутого пальца. Это и будет ответ (см. рисунок).



Но есть трюки и похитрее…

Зная таблицу умножения вплоть до 5 × 5, вы можете посчитать на пальцах любое произведение от 6 × 6 до 10 × 10. Сперва представьте, что пальцы каждой руки пронумерованы как 6, 7, 8, 9, 10.


Умножение больших чисел

Вы проехали 693 мили, чтобы устроить палаточный лагерь где-то у черта на куличках, и по возвращении домой обнаружили, что нет ключей от входной двери, которые вы, скорее всего, выронили, когда разбирали тент. Съездив за ними обратно, вы в итоге проехали по одной и той же дороге четыре раза. Сколько всего миль вы преодолели?

Честно говоря, после таких приключений вряд ли кому-то захочется садиться за подсчеты, но если вы все же решитесь, окажется, что числа выходят далеко за пределы таблицы умножения. Хитрость в том, чтобы умножать небольшими частями, к тому же (о радость!) вам ничего не придется умножать больше чем на 9. Рассмотрим по пунктам, как умножить 693 на 4.

1. Запишем выражение так:



2. Умножим на 4 сначала 3, затем 9 и наконец 6, следя за тем, чтобы результаты были записаны в нужных местах. Начнем справа, с единиц. Считаем: 3 × 4 = 12. Пишем 2 под 4 и ставим маленькую единичку над пустым местом слева.



3. Теперь умножаем 9 × 4 = 36 и, прибавив маленькую единичку, получаем 37. Пишем 7 в ответ, а маленькую тройку ставим над следующим пустым местом.



4. И наконец, считаем 6 × 4 = 24. Прибавив маленькую тройку, получаем 27. Больше умножать нечего, так что пишем внизу 27 и получаем ответ! Вышло довольно изящно. (Надеюсь, это поднимет вам настроение после неурядиц с ключами.)



Теперь перейдем к умножению бо́льших чисел. Допустим, нужно умножить 517 на 38. Традиционный способ – умножить 517 на 30, затем 517 на 8 и сложить оба полученных числа. Пусть и неуклюже, но зато работает.

1. Запишем выражение так, как показано, и проведем внизу несколько дополнительных линий. Сначала умножим 517 на 30. Запишем 0 под 8 для того, чтобы остальная часть ответа оказалась в правильном месте.



2. Теперь умножаем 517 на 3. Начнем с 7 × 3 = 21. Единицу записываем в тот столбец, где стоит 3, а маленькую двойку добавляем в следующий столбец. Обратите внимание, дальше нужно считать 1 × 3 = 3! (По невнимательности легко пропустить цифру.) Прибавляем 2 к 3 и, получив 5, записываем 5 в ответ. Наконец, 5 × 3 = 15: пишем это число спереди.



3. Теперь вычисляем 517 × 8, записывая ответ линией ниже. При умножении 7 × 8 = 56 шестерка попадает в тот столбец, где стоит 8.



4. Выяснив, сколько будет 517 × 30 и 517 × 8, складываем оба результата. Получается 15 510 + 4136 = 19 646. Это и есть окончательный ответ!

колумнист

В сексе мужской оргазм обычно воспринимается как главное блюдо – без него ни обед, ни ужин, ни ланч, ни бранч вообще приемом пищи не считается, а женский почему-то временами выступает как десерт: если есть, то хорошо, а если нет, то тоже терпимо. Статей на тему «Как доставить ему оргазм?» вы найдете превеликое множество, а вот на тему нашего удовольствия даже женские журналы предпочитают деликатно отмалчиваться либо ограничиваться банальными советами вроде «расслабься», «настройся на нужную волну» или «прислушайся к своему телу», которые в равной степени можно отнести и к йоге, и к медитации, и к сексу, и даже к тактикам борьбы со стрессом. В этом материале мы без всяких там буддийских мантр и женоненавистнической риторики решили сосредоточиться на самом важном в сексе – на женском оргазме и полезных лайфхаках, которые приближают и упрощают его достижение.

Лайфхак № 1: фантазируйте как можно больше

Сексологи не устают повторять, что наш мозг – это двигатель сексуального удовольствия и все приятные ощущения всегда исходят именно оттуда. Необязательно воплощать с партнером будоражащую вас фантазии в жизнь, можно попробовать так и оставить эту игру в пределах вашего мозга и выстроить как тренировку. Сначала вы в одиночестве находите сюжет, который вас возбуждает, затем возвращаетесь к мыслям о нем несколько раз в течение дня, а при встрече с партнером визуализируете сценарий в своей голове уже во время секса.

Лайфхак № 2: не молчите в кровати

Этот трюк не находит поддержки у многих девушек ровно до тех пор, пока они не опробуют его на практике, потому что стереотипное мышление говорит нам о том, что хорошие любовницы молчат в постели. А на деле резкие фразы и грязные словечки очень многих возбуждают, добавляют динамики в секс и приближают к оргазму.

Лайфхак № 3: будьте упрямее в том, что касается поз

Для того чтобы найти свой путь к оргазму, по сути можно пользоваться логикой игры «Горячо – холодно». Как только в какой-то позиции вы чувствуете, что удовольствие идет по нарастающей (пусть даже и медленно), не поддавайтесь желанию партнера сменить сценарий, а задержитесь на этих ощущениях дольше, чем обычно. Не исключено, что бонусом будет приятный сюрприз!

Лайфхак № 4: откройте для себя понятие смешанного оргазма

На практике это означает сексуальное удовольствие, которое стало кульминацией стимуляции не одной, а двух (или более – тут уже от сноровки партнера зависит) эрогенных зон. Какие из «красных кнопок» в комбинации сработают в вашем случае, придется проверять на практике, но зато вы теперь знаете, на что потратить дождливое воскресенье.

Лайфхак № 5: качайте мышцы ТАМ

Это не мы сказали, а исследователи, которые пришли к выводу о том, что сильные лобково-копчиковые мышцы (они расположены внутри влагалища в форме двух гамаков по стенкам) ведут к более частым оргазмам. А упражнения с ними можно делать хоть на работе, хоть в транспорте – все равно никто не заметит.

Лайфхак № 6: сделайте ему демо-версию из всего, что вас возбуждает

Шаг первый: исследовать себя и свои ощущения. Шаг второй и самый важный: грамотно и вдумчиво донести информацию до вашего партнера, не упустив ни одной детали. Показывайте прямо на себе, никуда не торопитесь и не надейтесь на «сам догадается», а иначе это будет то же самое, что идти на контрольную, не выучив уроков.

Лайфхак № 7: исследуйте друг друга вместе

Если вы чувствуете, что часто испытываете проблемы с оргазмами, то постарайтесь уменьшить длительность непосредственного секса с проникновением и удлинить предварительные ласки, добавив элемент исследования. Возьмите за правило больше времени уделять просто прикосновениям и ласкам, наблюдая за ответными реакциями вашего тела, чтобы потом в процессе суммировать полученные приятные ощущения.

conrado/Shutterstock.com

Прежде чем приступать, надо убедиться, что секс вообще будет. Скажете, очевидно? А вот и нет. Разберитесь раз и навсегда, что значит «да» в сексе, как оно звучит и почему без этого первого шага никуда.

2. Найдите 8 отличий между кино и реальностью

Фильмы с рейтингом 18+ на то и фильмы, чтобы показывать сказки. И пусть в конце они не поженятся, всё равно у сюжета мало общего с реальностью. Да-да, там есть сюжет. А в жизни всё гораздо сложнее и интереснее, чем в кино. Так что не перепутайте секс и порно, чтобы не разочаровать себя и партнёра.

3. Распространённые ошибки в сексе

Качество секса зависит не от модельных параметров и не от способности круглосуточно возбуждаться по щелчку пальцев. Никакие техники и навыки не спасут дело, если допустить грубую ошибку. Какую именно - рассказывает сексолог Лори Уотсон.

4. Как стать хорошим партнёром


conrado/Shutterstock.com

Идеальный секс (когда партнёры понимают друг друга, дарят и получают удовольствие) без хорошего партнёра не получится. Параметры идеала в постели далеки от стандартов красоты. Чтобы стать отличным любовником, не надо ходить на тренинги и осваивать секретные приёмы порнозвёзд. В любви важно совсем другое.

5. Как получить удовольствие

Когда с партнёром определились и согласие получено, нужно приступать. Для начала проверьте, все ли позы, в которых удовольствие получают оба партнёра, вы уже попробовали. Если нет, вы знаете, что делать.

6. Как заниматься любовью медленно

Медленный секс - не значит скучный. Наоборот, такие ощущения, как при занятиях медленным сексом, невозможно испытать при скоростном забеге. Помните: чтобы всё успеть, не надо торопиться.

7. Как растянуть удовольствие

Все люди разные, и скорость, с которой секс движется к финалу, у каждого своя. Однако если медленный секс из предыдущей статьи никак не удаётся, то попробуйте продлить удовольствие простыми и эффективными техниками. Они работают.

8. Как попробовать по-настоящему необычную практику


blickpixel/pixabay.com/ru

Честная и откровенная статья о том, как решиться на секс втроём и что сделать, чтобы все участники получили удовольствие. Kireyonok/depositphotos.com

Без секса жить можно, но это чревато самыми неожиданными последствиями для здоровья. Сначала секс будет приходить во сне, а если вы проигнорируете такие предупреждения организма, то он обидится и заставит вас болеть, пока вы не задумаетесь, как вернуть секс в свою жизнь.

Математика для взрослых. Лайфхаки.

Интересная и доступная книга о числах, которая поможет вам "вспомнить всё" и начать благополучно решать математические проблемы из реальной жизни - Everyday Maths for Grown-Ups: Getting to Grips with the Basics.

Есть очень много людей, которые в какой-то момент упустили математику и не умеют хорошо работать с цифрами. Книга начинается с самых основ "как добавить" и объясняет, как 1,2,3 системы счисления работают для нас. Постепенно вспоминаем вычитание, умножение и деление...

Почему я написал эту книгу.

Если начало книги слишком легко для вас, вы можете просто пропустить его. Но если вы застряли в каком-то месте, вы можете вернуться назад и увидеть, где вы потеряли сюжет!

Если вы никогда не были сильны в математике в школе и это сказывается на вашей взрослой жизни, вы можете исправить положение. Эта книга делает повседневную математику интересной и понятной каждому. И для взрослых (для которых она и написана), и для детей, кто математику по тем или иным причинам не любит или не понимает.

Книга даёт хороший обзор краеугольных камней математики. Здесь дано нужное количество деталей, которое не позволит вам застрять на каком-либо этапе. Примеры, приведённые автором, чёткие и актуальные. Кроме того, остроумные замечания делают процесс чтения ещё и увлекательным. Очень доступная книга для чтения (только подумайте - лёгкое чтение по математике! ), рекомендуется для тех, кто заинтересован в повседневном использовании математики.

Сложение.

Это отличная небольшая книга для напоминания вам основ математики, которые вы знали, но подзабыли со временем, или недопоняли в школе. Стоит прочитать - книга поможет пересмотреть свои знания и позволит нам помочь нашим детям по математике в школе.

В жизни бывают ситуации, когда уместны хорошие навыки устного счёта, но быстро и точно считать умеют далеко не все. Эта книга покажет трюки и приёмы, которые вы не учили (или не выучили) в школе и которые помогут вам быстро разобраться с любыми подсчётами и понять математические идеи и термины, которые были недоступны до этого.

Есть поясняющие рисунки.

Вы научитесь:

  • Быстро проверить кассовый чек;
  • Рассчитывать проценты по кредиту или вкладу;
  • Легко конвертировать метры, литры и граммы в разных системах;
  • Быстро перемножать и делить большие числа;
  • Отличать среднее от моды и медианы и понимать, что значит каждый из этих показателей;
  • Рассчитывать площади и объёмы фигур;
  • Разбираться с вероятностью и случайностью и многое другое.

Скажете, вы всё это учили в школе и всё знаете? Возможно. Но, скорее всего, большинство из перечисленного у вас вызывает затруднения. Между тем, разобраться с данными вопросами несложно, и у вас будет меньше проблем в жизни.

Это самый дружелюбный и доступный ликбез по математике для взрослых, который только существует на сегодня .

Вся математика - с самых основ.

Вы наверняка задумывались:

  • сколько краски вам нужно для покраски вашей кухни?
  • новые правила сложения, которые преподают вашим детям - насколько это удобно?
  • как умножить любые два числа, если вы хорошо помните только таблицу умножения на два?
  • как определить лучшие специальные предложения в магазинах?
  • как изменить обычные дроби в десятичные?
  • какая польза алгебры в реальной жизни... или тригонометрии... или как использовать в обычной жизни логарифмы?

Внимание! Математикам - не читать! Именно математики любят писать о подобных книгах-разъяснениях не самые лестные отзывы (мол, слишком примитивно ), но математиков среди нас мало, а считать нужно всем. А вот для тех, у кого гуманитарное образование и математики в школе толком не было, эта книга незаменима.

Здесь даны не только базовые сведения, но и несколько интересных математических трюков, а в конце - глоссарий, который позволит быстро освежить в памяти любое определение.

Издание отличного качества: твёрдый переплёт, закладка-ляссе, белая бумага, удобный формат. Есть чёрно-белые схемы и поясняющие рисунки, чертежи.

Об авторе

Кьяртан Поскит - инженер по образованию, автор серии детских книг "Murderous Maths" (убийственная математика), переведённых на 20 языков, нескольких научно-популярных книг для взрослых (о космосе, Ньютоне, шифрах и другом), нескольких художественных произведений и многочисленных образовательных программ на BBC, и сегодня появляется регулярно в разных передачах. Живёт в Нью-Йорке с семьёй.

Сложение/Вычитание/Умножение/Деление
Все основы, в том числе новые методы, преподаваемые в школах. Вы узнаете кратчайший путь к проверке.

Ленточка-закладка.

Дроби, десятичные и проценты
Всё, что нужно знать о том, как конвертировать между ними и как определить лучшие предложения в магазинах.

Степени и корни
Всё о квадратах и кубах, и как числа могут быть легко записаны в стандартной форме.

Средние значения
Моды и медианы, среднее арифметическое.

Алгебра
Всё, что нужно знать об уравнениях и формулах - и вы увидите несколько уловок, которые работают!

Системы измерения и преобразования
О метрах и литрах, и других мерах, всё перечислено и объяснено, в том числе как конвертировать длину, вес и валюты.

Линия, площадь и объём
Все расчеты по благоустройству жилья, Пифагор и его теоремы!

Шанс!
Выучите несколько трюков - найдите математику в раздаче карт, метании костей и ставках.

Дополнительная математика
Тригонометрия и логарифмы - теперь вы и их поймёте!

Глоссарий
Быстро - все слова и термины.

В дополнение к вышесказанному, есть разделы по соотношениям, оценка и округление, а также несколько хитростей и особенностей о таких вещах, как искривление пространства, размеры атомов и шансы в покере. Читать будет интересно!

На фото - некоторые страницы книги.